Definisi dan Contoh Subgrup

Definisi dan Contoh Grup

Definisi Operasi Biner

Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi biner pada himpunan G adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap pasangan terurut unsur-unsur di G ke unsur di G.

Definisi Grup

Misalkan G himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang memasangkan setiap pasangan terurut (a, b) unsur-unsur dari G ke unsur dari G dinotasikan dengan ab. G disebut grup dengan operasi tersebut jika tiga sifat berikut dipenuhi.

1.      Asosiatif

Operasi bersifat asosiatif, yaitu (ab) c = a (bc) untuk setiap a, b, canggota G.

2.      Identitas

Ada elemen e  (disebut identitas) dalam G, sehinggaae = ea = a untuk setiapa anggota G.

3.      Invers

Untuk setiap aanggota G, terdapat elemen banggota G (disebut invers dari a) sedemikian rupa sehingga ab = ba = e.

Suatu himpunan yang memenuhi ketiga sifat di atas, di mana setiap pasangan elemen yang dikombinasikan menghasilkan elemen yang tetap berada dalam himpunan tersebut disebut memenuhi kondisi tertutup (closure). Pastikan untuk memeriksa sifat tertutup ketika menguji suatu himpunan termasuk grup atau bukan. Sebagai catatan tambahan, jika a adalah invers dari b maka b adalah juga invers dari a.

• Contoh 1

Himpunan {0,1,2,3} adalah bukan kelompok metode perkalian modulo 4. Meskipun 1 dan 3 memiliki invers, unsur-unsur 0 dan 2 tidak {0,1,2,3} bukan grup

Pembuktiannya:

1.      Asosiatif

Misal:

1 ( 2 . 3 ) = (1 . 2) 3

         6     =     6  à  benar asosiatif

Syarat 1 terpenuhi

2.      Identitas

{0, 1, 2, 3} memiliki identitas yaitu 1

Syarat 2 terpenuhi

3.      Invers

{0,1,2,3}

§  Invers 0

Misal:        0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

            0 x 2 = 0

0 x 3 = 0

Maka 0 tidak memiliki invers

§  Invers 1

1 x 1 = 1 maka invers 1 adalah 1

§  Invers 2

2 x 0 = 0

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

Maka 2 tidak memiliki invers

§  Invers 3

3 x 1 = 3 = 1 mod 4 → maka invers 3 adalah 1

Syarat 3 tidak terpenuhi

• Contoh 2

Untuk setiap n> 1, kita mendefinisikan U(n) untuk menjadi himpunan semua bilangan bulat positif kurang dari n dan relatif prima dengan n. maka U(n) adalah grup bawah perkalian modulo n. (kita tinggalkan sebagai latihan bukti bahwa set ini tertutup terhadap operasi ini.)

Untuk n = 10, kita memiliki U(10) = {1, 3, 7, 9}. tabel Cayley untuk U(10) adalah

mod 10	1	3	7	9
1	1	3	7	9
3	3	9	1	7
7	7	1	9	3
9	9	7	3	1

(ingat bahwa ab mod n adalah biangan bulat r unik dengan properti ab = nq + r, dimana 0 ≤ r <n dan ab adalah perkalian biasa.) dalam hal ini bahwa n adalah  prima U(n)={1, 2, …., n-1}.

Dalam buku aljabar klasiknya der Lehrbuch, yang diterbitkan pada tahun 1899, Heinrich Weber memberikan perlakuan yang luas dari kelompok U (n) dan dideskripsikan mereka sebagai contoh yang paling imporant dari grous Abelian terbatas.

SIFAT DASAR DARI GROUP

Teorema 2.1 Ketunggalan Dari Suatu Identitas

“Di dalam sebuah group, hanya ada 1 element identitas”

Bukti.Andaikan kedua ini e dan e’ adalah identitas dari G. Lalu,

1.      ae = a semua bagian a dalam G, dan

2.      e’a = a semua bagian a dalam G.

Pilihan dari a = e’ adalah yang nomor satu (1) dana = e adalah yang nomor dua (2) hasilnya adalah e’e = e’ dan e’e = e. Dengan demikian e dane’ adalah sama dengan e’e dan begitu juga sama pada setiap lainnya.

Jadi pada intinya, bahwa dalam satu group itu hanya ada satu (1) identitas, penyimbolan identitas, penyimbolan identitas dalam group adalah e (karena berasal dari bahasa Jerman, Einheit yang berarti identitas).

Teorema 2.2 Pembatalan

“Di dalam group G dari kanan ke kiri dengan menggunakan hukum di dalam pembatalan yang saling berkaitan dengan ba = ca yang mengakibatkan b = c, dan ab = ac mengakibatkan b =c.”

 Bukti. Dengan menggangap bahwa ba = ca. Maka a’adalah invers dari a. Kemudian, dikalikan dari kanan untuk a^’menghasilkan (ba)a’=(ca)a’. Maka akan menghasilkan sifat asosiatifb(aa’)= c(aa’).Kemudian,be = ce dan maka dari itu,b = c.Lalu,kita membuktikan bahwa ab = ac implikasi dari b = c. Perkalian a^’ dari kiri.

Pemecahan masalah yang ada didalam sifat cancellation yang ada didalam tabel Cayle yang telah dibahas dengan menggunakan tabel dan kolom. (lihat latihan no. 24). Pemecahan sifat cancellation akan lebih diperdalam didalam materi Ketunggalan dari Invers.

Teorema 2.3  Ketunggalan Dari Invers

“Untuk setiap elemen a dalam group G, ada sebuah b ​​elemen tunggal dalam G sehingga ab=ba=e”

Bukti. Jika b dan c keduanya invers dari a. maka ab=e dan ac = e, sehingga ab=ac itu. Sekarang abaykan a.

Seperti yang terjadi dengan elemen identitas, itu adalah biasa, dalam pandangan Teorema 2.3, untuk berbicara tentang"invers" dari elemen group g; dan, pada kenyataannya, kita jelas dapat menunjukkan itu dengang^-1. Notasi ini disarankan dengan yang digunakan untuk bilangan real biasa terhadap perkalian. Sama, ketika n adalah bilangan bulat positif, gⁿ digunakan untuk menunjukkan hasil.

gg..............g (n faktor)

Kita harus berhati-hati dengan notasi ini ketika berhadapan dengan group tertentu yang pasangan operasinya adalah penambahan dan menyatakan dengan"+". Dalam hal ini, definisi dan properti group dinyatakan dalam notasi perkalian harus diartikan kenotasi penjumlahan. Misalnya, invers g ditulis sebagai -g, demikian juga misalnya g³di tulis g + g + g  dan biasanya di tulis seperti 3g, sedangkan g^-3di tulis (-g) +(-g)+(-g) dan ditulis seperti -3g.  Notasi penjumlahan.

Tabel

Group Perkalian		Group Pembagian
a . b atau ab	Perkalian	a + b	Pembagian
e atau 1	Identitas atau satu	0	Nol
a-1	Perkalian invers dari a	-a	Penjumlahan invers dari a
an	Power dari a	na	Perkalian dari a
ab-1	Hasil bagi	a - b	Pengurangan

Demikian dulu. Terima Kasih Telah Membaca.!!!!!