Finite Grup

SUBGRUP

Definisi Order Sebuah Grup

Bilangan yang termasuk dari sebuah grup (terhingga/tak terhingga) disebut order. Kita akan menggunakan ǀGǀ untuk melambangkan orde dari G.

Definisi Order Sebuah Elemen

Order dari sebuah elemen/unsur g dalam grup G merupakan bilangan bulat positif terkecil n seperti gⁿ  = e (dalam notasi penjumlahan, ini akan menjadi ng = 0). Jika tidak ada bilangan bulat, kita katakan g mempunyai order yang tak terhingga.Order dari sebuah elemen g dilambangkan dengan ǀgǀ.

Jadi, untuk menemukan order dari sebuah elemen grup g, yang kamu butuhkan hanya menghitung urutan dari hasil g¹,g² ,g³ , .....Sampai kamu mendapatkan identitas untuk pertama kali. Eksponen dari hasil ini (atau koefisien jika operasinya penjumlahan) adalah order dari g. Jika identitas tidak pernah muncul dalam urutan, maka g mempunyai order yang tidak terbatas.

Contoh : Z10 dengan operasi penjumlahan modulo 10.sebab 1 . 2 = 2, 2 . 2 = 4, 3 . 2 = 6, 4 . 2 = 8, 5 . 2 = 0, kita tahu bahwa ǀ2ǀ = 5. perhitungan yang sama menunjukkan ǀ0ǀ = 1, ǀ7ǀ = 10, ǀ5ǀ = 2, ǀ6ǀ = 5.

Definisi Subgrup

Jika subset H kelompok G sendiri operasi Inder kelompok G, H kita katakan adalah subkelompok G. Kami menggunakan notasi H ≤ G berarti H adalah subgrup G. Jika kita ingin menunjukkan bahwa H adalah subgrup dari G, tetapi tidak sama dengan g sendiri, kita menulis H < G. Subgrup seperti ini disebut sub-grup sejati. Subgrup {e} disebut subgrup trivial G. Subgrup yang tidak {e} adalah disebut subgrup trivial dari G.

Theorema 3.1 Satu Langkah Uji Subgroup

Misalkan G menjadi kelompok dan H tidak kosong subset dari G.then, H adalah subgroup dari G adalah H kapanpun a dan b berada dalam H (dalam notasi aditif, H adalah subgrup jika a - b di H setiap kali dan b berada dalam H).

Teorema 3.2   Dua Langkah Uji Subgroup

Misalkan G menjadi kelompok dan H tidak kosong subset G. Kemudian, H adalah subgrup dari G jika ab ∈ H jikaa, b​​∈H(tertutup terhadap perkalian) dan -1 ∈ H setiap kali a ∈ H.

Teorema 3.3   Uji Hingga Subgroup

 H subset terbatas tidak kosong dari suatu kelompok G. kemudian, H adalah subgrup dari G jika H ditutup di bawah pengoperasian G        

Teorema 3.4  (a) adalah Subgroup

Misalkan G adalah grup, dan misalkan a adalah beberapa elemen G. Kemudian, (a) adalah a subgroup G.

Teorema 3.5 Pusat A dalah sebuah Subgroup

Pusat sebuh Grup G adalah sebuah subgrup di G

BUKTI.Untukvariasi, kitaakan menggunakan Teorema3.2untukmembuktikanhasilini. Jelas, e∈Z(G), makaZ(G) adalah tidak kosong.Sekarang, misalkana, b∈Z(G).Kemudian(ab) x=a(bx) =a(xb) =(ax) b=(xa) b=x(ab) untuksemuaxdiG, dan oleh  karena itu, ab∈Z(G).